OCTUBRE

GEOMETRÍA ANALÍTICA EN R3

Para localizar un punto en el espacio, se requieren tres números. Se representa cualquier punto en el espacio mediante una tercia ordenada (a,b,c) de números reales. A fin de representar puntos en el espacio, se elige primero un punto fijo, el origen 0, y tres líneas dirigidas a 0 que son perpendiculares entre sí, llamados ejes coordenados y marcados como eje x, eje y y eje z. Por lo común se considera que los ejes x e y son horizontales, y que el eje z es vertical. La dirección del eje z se determina mediante la regla de la mano derecha.

Los tes ejes coordenados determinan los tres planos coordenados, el plano xy es el plano que contiene los ejes x e y; el plano yz contiene los ejes y y z; el plano xz contiene los ejes x y z. Estos tres planos coordenados dividen el espacio en ocho partes, llamados octantes. El primer octante, en primer plano, se determina mediante los ejes positivos.

EN R2

Geometricamente una función implicita representa una CURVA en R2
Cada función implícita genera una curva en R2 y su intersección genera 1 o mas puntos.

EN R3

f(x,y)=0--> representa una superficie cilíndrica con generatriz paralela al eje z.

f(x,z)=0-->Representa una superficie cilíndrica con generatriz paralela al eje y

f(y,z)=0-->Representa una superficie cilíndrica con generatriz paralela al eje x

Geométricamente representa una SUPERFICIE en R3
f(x,y,z)=0 es de primer orden entonces representa un PLANO
La intersección de dos superficies cilíndricas genera CURVAS

LA RECTA EN R3

Primer caso

Datos: Mo (ro)
a=(l,m,n)
PD: Ecuacion de la recta

Ecuación vectorial de la recta: r=ro+ta

Ecuaciones paramétricas de la recta:
x=xo+tl
y=yo+tm
z=zo+tn

Ecuaciones cartesianas o canónicas de la recta: (x-xo)/l=(y-yo)/m=(z-zo)/n

Nota: en el siguiente video se encuentra detallada las respectivas demostraciones de las ecuaciones vectorial, paramétrica y cartesiana de la recta dado un punto, elemento de la recta, y el vector director.

Segundo caso

Datos: M1 (r1)

M2 (r2)

PD: Ecuacion vectorial de la recta

Ecuación vectorial de la recta: r=r1+t(r2-r1)

Ecuaciones paramétricas de la recta:

x=x1+t(x2-x1)

y=y1+t(y2-y1)

z=z1+t(z2-z1)

Ecuaciones cartesianas, canónicas o simétricas de la recta:

(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1)

Nota: Las demostraciones de estas ecuaciones vectoriales, paramétricas y cartesianas dados dos puntos son similares a las anteriores, en el siguiente video se encuentra la solución de un ejercicio tipo dados dos puntos pertencientes a la recta.

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

Datos: M1 (r1)

L: r=ro+ta

PD: dL,M1

Distancia de un punto a una recta: dL, M1=||ua x (r1-ro)||

Nota: la distancia entre un punto y una recta siempre es PERPENDICULAR, el siguiente video demuestra detalladamente la fórmula anteriormente expuesta.

EL PLANO EN R3

Datos: Mo (ro)

n=Ai+Bj+Ck (vector normal)

PD: Ecuación general

Ecuación vectorial del plano: (r-ro).n=0

Ecuación general del plano en f(x,y,z): Ax+By+Cz+D=0

Nota: en el siguiente video se encuentra la demostración respectiva de la ecucaión vectorial del plano.

ECUACIONES INCOMPLETAS DEL PLANO

1. Si C=0-->Ax+By+D=0

n=(A,B,0)

2. Si C=0 y D=0-->Ax+By=0
n=(A,B,0)

3. Si B=0 y C=0-->Ax+D=0

planos paralelos al plano YOZ

ECUACIÓN SEGMENTARIA DEL PLANO

a=-D/A
b=-D/B
c=-D/C

ECUACIÓN NORMAL DEL PLANO

Ecuación nomal del plano: xcosα+ycosβ+zcosϒ-ρ=0

Nota: para la ecuación normal del plano el vector normal está definido a partir de los cosenos directores, que son los ángulos que forma dicho vector con los ejes positivos del sistema cordenado, como se muestra en la siguiente figura.

PLANO DETERMINADO POR TRES PUNTOS

Datos: P1(r1)
P2(r2)
P3(r3)
PD: Ecuaciones del plano

Ec.1: P1P es perpendicular al vector normal
Ec.2: P1P . n=0

Ec.3: P1P=r-r1
Ec.3 en Ec.2:
Ec.4: (r-r1).n=0
Ec.5: n=(P1P2xP1P3)
Ec.6: n=(r2-r1)x(r3-r1)

Ecuación vectorial del plano dados los tres puntos: (r-r1).[(r2-r1)x(r3-r1)]=0

Notas:

La ecuación vectorial del plano dado los tres puntos esta en forma de un producto mixto.
Si el pructo mixto es igual cero, entonces los tres vectores son COPLANARES.
Geometricamente el producto mxto representa el VOLUMEN del paralelepípedo, cuyas aristas son los tres vectores.

DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO

Datos: π: xcosα+ycosβ+zcosϒ-ρ=0

M1(r1)

PD: d=dπ,M1

Distancia conociendo la ecuación normal del plano:

d=un.r1-ρ

d=x1cosα+y1cosβ+z1cosϒ-ρ

Nota: En el siguiente video se encuentra resuelto un ejercicio de distancia entre un punto y el plano.

RECTA DETERMINADA POR DOS PLANOS

Datos: π1: A1x+B1y+C1z+D1=0

π2: A2x+B2y+C2z+D2=0

PD: Ecuación de la recta r

1. a=n1xn2-->(l,m,n)
2. Si y=0: Xo;Zo
A1x+B1y+C1z+D1=0
A2x+B2y+C2z+D2=0

Ecuación de la recta determinada por dos planos en forma simétrica: (x-xo)/l=(y-yo)/m=(z-zo)/n

Ecuación vectorial de la recta determinada por dos planos:
r=ro+ta
(x,y,z)=(xo,0,zo)+t(l,m,n)
(x,y,z)=(xo+tl,zo+tn)

HAZ DE PLANOS

Datos: π1: A1x+B1y+C1z+D1=0

π2: A2x+B2y+C2z+D2=0

PD: Ecuaciones del haz de planos

(A1+λA2)x+(B1+λB2)y+(C1+λC2)z+(D1+λD2)=0

ECUACIÓN VECTORIAL DE LA ESFERA

Datos: C(Xo,Yo,Zo)

radio r

PD: Ecuaciones de la esfera

Ecuación vectorial de la esfera: (r-ro)^2=R^2

Ecuación general de la esfera con centro (Xo,Yo,Zo) y radio R:
(x-xo)^2+(y-yo)^2+(z-zo)^2=R^2

SUPERFICIES EN TRES DIMENSIONES

Ax+By+Cz+D=0                       Ecuación del plano
z=0                                             Ecuación del plano XOY
x=0                                             Ecuación del plano YOZ
y=0                                             Ecuación del plano XOZ
z=k                                             Ecuación de un plano paralelo al plano XOY

En la siguiente imagen podemos observar algunas superficies en tres dimensiones

ANÁLISIS DE SUPERFICIES EN R3

x=(y^2)-(z^2)

1.Intersección con los ejes coordenados

a) Con el eje OX

x=(y^2)-(z^2)

y=0

z=0

x=0

P1(0,0,0)

b) Con el eje OY

x=(y^2)-(z^2)

x=0

z=0

y^2=0-->y=0

P2(0,0,0)

c)Con el eje OZ

x=(y^2)-(z^2)

x=0

y=0

z^2=0-->z=0

P3(0,0,0)

2.Intersección con los planos coordenados

a) Con el plano XOY

x=(y^2)-(z^2)

z=0

x=y^2-->parábola con vértice en el origen

b) Con el plano YOZ

x=(y^2)-(z^2)

x=0

y^2=z^2

+/-|y|=+/-|z|

c) Con el plano XOZ

x=(y^2)-(z^2)

y=0

x=-(z^2)-->parábola con vértice en el origen

3. Intersección con planos paralelos a los planos coordenados

a) paralelo al plano XOY

x=(y^2)-(z^2)

z=k

x=(y^2)-(k^2)-->Ecuación de una familia de parábolas

b) paralelo al plano YOZ
x=(y^2)-(z^2)
x=k

k=(y^2)-(z^2)
1=((y^2)/k)-((z^2)/k)-->Ecuación de una familia de hipérboles

c) paralelo al plano XOZ
x=(y^2)-(z^2)
y=k

x=(k^2)-(z^2) -->Ecuación de una familia de parábolas

4. Bosquejo del gráfico en R3

Nota: la función x=(y^2)-(z^2) se denomina un paraboloide hiperbólico, en el video a continuación se encuentra el análisis del mismo de manera general, con su respectivo bosquejo graficado paso a paso.

FUNCIONES VECTORIALES

F:I subconjunto de R-->R^n

t--->F(t)=(f1(t),f2(t),f3(t),.......,fn(t))

Ejemplo:

r(t)=(t^3,ln(3-t),t^1/2)

f1(t)=t^3

Dom.f1(t)=R

f2(t)=ln(3-t)

Dom.f2(t)=3-t>0

t<3

f3(t)=t^1/2

Dom.f3(t)=t>0

Por lo tanto el dominio de la función vectorial resulta de la intersección de los tres dominios, es decir:

Dom.r(t)=[0,3[

De manera general: r(t)=(f(t),g(t),h(t))

fi(t) son funciones escalares de una variable
El dominio de la función vectorial resulta de la interseccion de cada fi

Límites

Sea F un subconjunto de R--->R^3

t--->F(t)=(f1(t),f2(t),f3(t))

Definida en un dominio de existencia

Nota: Se requiere que exista cada uno de los límites cuando t tiendo a cero de las funciones f1(t),f2(t),f3(t). Si alguno de los límites no existe entonces no existe el limite de la funcion vectorial.

Continuidad
Sea F(t) definida de I-->R^3 se dice que es continua si cumple:

Si alguna de las tres condiciones no cuple, entonces, se dice que F(t) es discontinua en a y puede darse:

Discontinua evitable: si el límite cuando t tiende a (a) no es igual a F(t) evaluada en el punto (a).
Dicontinua inevitable: si no existe el límite cuando t tiende a (a).

Derivadas

Ejemplo:

Nota: En el video la derivada de la funcion vectorial esta hecha a partir de su definición, sin embargo una vez conocidas las reglas para la derivación se puede realizar directamente, en el video tambien encontramos unas aplicaciones con respecto a la recta tangente de dicha curva, que será explicado mas adelante.

Integrales

Ejemplo:

Ejemplos de gráficas de funciones vectoriales

1. Hélice circular

2. Espiral toroidal

3. Nudo de trebol

Observaciones:

Si la función vectorial representa la posición de una partícula en un instante "t" entonces:

i) la primera derivada de r(t) es igual a la velocidad
ii) la segunda derivada de r(t) es igual a la aceleración

La primera derivada de F(t) representa la pendiente de la recta tangente en ese punto.

TRIEDRO MOVIL

Vectores asociados

*Vector tangensial r'(t) = T

*Vector aceleración r''(t) = a

*Vector binormal r'(t) x r''(t) = B

*Vector normal B x T = N

Rectas asociadas

*Recta tangensial

*Recta Binormal

Planos asociados

*Plano Osculador

*Plano Rectificante

*Plano Normal

Ecuaciones de FRENET-SERRET

*Nota: En el siguiente video se puede observar un triedro movil sobre una hélice.

CLASES DE CURVATURA

Curvatura de flexión

Lamada también simplemente como curvatura se define como la razón instánea de cambio de dirección de los puntos de la curva C con respecto a la longitud del arco.

$K = T ' ( t ) | r ' ( t ) |$

$ρ = 1 K$

Curvatura de torsión

La torsión nos indica el alejamiento o acercamiento de la curva al plano osculador.
Se define como el límite del ángulo girado por el vector unitario binormal al pasar de un punto a otro sobre la curva alabeada.

CÁLCULO VECTORIAL - IQ

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