DICIEMBRE

INCREMENTOS Y DIFERENCIALES

 

La diferencial dz tambien conocida como diferencial total se define como:

 

La siguiente figura es el equivalente tridimensional de la figura anteriormente expuesta y en esta se muestra la interpretación geométrica de la diferencial dz y el incremento. El diferencial representa el cambio en la altura del plano tangente y el incremento representa el cambio en la altura de la superficie.

 Nota: En el siguiente video se encuentra la explicación detallada asi como la interpretación geométrica de los incrementos y diferenciales, mientras que en el segundo video se encuentran ejercicios resueltos.

• El incremento de la función f es un valor exacto y real.
• Los diferenciales son valores aproximados.
• Recordar que diferenciar no es lo mismo que derivar.

DERIVADAS Y DIFERENCIALES DE FUNCIONES COMPUESTAS

Regla de la cadena o composición

Si y=f(x) y x=g(t) donde f y g son funciones diferenciables, entonces y es indirectamente una función diferenciable de t.

Regla de la cadena (Caso 1): Suponiendo que z=f(x,y) es una función de x y y diferenciable donde x=g(t) y y=h(t) son funciones de t diferenciables. Entonces z es una funcion de t diferenciable.

 

Regla de la cadena (Caso 2): Suponiendo que z=f(x,y) es una función diferenciable de x y y donde x=g(s,t) y y=h(s,t) son funciones diferenciables de s y t entonces:

Regla de la cadena (visión general): Suponga que u es una función diferenciable de las n variables x1 x2 . . . , xn y cada xj es una función diferenciable de las m variables t1 t2 . . . , tm. Entonces u es una función de t1 t2 . . . , tm.

 

Ejemplo: Exprese la regla de la cadena para el caso donde w = f(x, y, z, t) y x=x( u, v) y=y( u,v)     z= z( u, v) t= t( u, v)

Estrategia: Usando el diagrama de arbol se pueden escribir las expresiones necesarias.

Solución:

DERIVACIÓN DE FUNCIONES IMPLÍCITAS

1. Por diferenciación 

2. Por Jacobianos

3. Por diferenciación implícita

DERIVADA DIRECCIONAL 

Es aquella que permite calcular la razón de cambio de una función de dos o mas variables en cualquier direccion.

La derivada direccional de f en (Xo,Yo) en la dirección u=(a,b) es:

Propiedades:

• Du(f+g) = Duf + Dug
• Du(cf) = cDuf
• Du(fg) = gDuf + fDug
• Du(h°g)(p) = h'(g(p)) Dug(p) 

Teorema: si f es una función diferenciable de x  y de y entonces f tiene una derivada direccional en la dirección de un vector unitario u=(a,b)  y

VECTOR GRADIENTE

La derivada direccional también se puede escribir como el producto punto de dos vectores:

 

el primer vector en este producto punto se denomina gradiente de f.

Definicion: Si f es una función de dos variables x y y entonces el gradiente de f es la funcion vectorial definida por:

Nota: en el siguiente video se encuentra una explicación detallada sobre la derivada direccional y el vector gradiente con ejercicios resueltos.