NOVIEMBRE

FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

Una función de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de números reales (x,y) de un conjunto D un número real único que se denota con f(x,y). El conjunto D es el dominio de f y su rango es el conjunto de valores que toma f es decir: {f(x,y) | (x,y) e D}.

La representación gráfica de una función z = f(x,y) es una superficie en R3 dentro de un dominio de existencia de f(x,y)

 Dominio de una función

El dominio donde f(x,y) existe es una region del plano XOY o todo el plano XOY
  

Para realizar el análisis del dominio de una función se requiere de:

1. Análisis matemático
2. Análisis gráfico 
3. Análisis descriptivo

Curvas de nivel

Las curvas de nivel de una función f(x,y) son las curvas cuyas ecuaciones son f(x,y)=k donde "k" es una constante en el rango de f(x,y)

Si las curvas de nivel se representan en R2 entonces se denominan curvas de contorno.

Si w=f(x,y,z) y w=k donde k es una constante k=f(x,y,z) representa una superficie de nivel.

Si u=f(x,y,z,w) y u=k donde k es constante k=f(x,y,z,w) representa una hipersuperficie de nivel.

LIMITES Y CONTINUIDAD

Limites

Definicion:

Sea una función de dos variables cuyo dominio D, contiene entre otros puntos arbitrariamente cercanos a (a,b) entocnes el límite de f(x,y) cuando (x,y) tiende a (a,b) es L por lo que se escribe:


 

Observaciones:

*Si por dos o mas caminos o trayectorias el valor del límite tiene un valor diferente entonces se concluye que no existe el límite.

*Si por dos o mas caminos o trayectorias el valor del límite tiene unmismo valor, se supone que el límte existe, y se debe proceder a demostrar su existencia.

*Los caminos elegidos para evaluar el límite debe contener el punto (a,b) de interés.

Continuidad

Se dice que una función f es continua en (a,b) si se cumple:

Se puede dar el caso que la función sea discontinua de tal manera que:

Toda funcion discontinua se debe redefinir.

DERIVADAS PARCIALES

Si f es una función de dos variables sus derivadas parciales son las funciones fx, fy definidas por

Observaciones:

*Cuando derivamos parcialmente con respecto a "x" la variable "y" se asume como constante.
* Cuando derivamos parcialmente con respecto a "y" la variable "x" se asume como constante.
*Se aplican todas las reglas de derivación de las funciones de una sola variable.

Nota: en el siguiente video se pueden observar algunos ejercicios resueltos sobre derivadas parciales

Interpretación geométrica de las derivadas parciales

Derivada parcial con respecto a "X"

La interpretación geométrica de la derivada parcial con repecto a "x" es la pendiente de la recta tangente en un punto (x,y) cuando x es constante.

Derivada parcial con respecto a "Y"

La interpretación geométrica de la derivada parcial con repecto a "y" es la pendiente de la recta tangente en un punto (x,y) cuando y es constante.
 

Interpretación Física

*Las derivadas parciales de z=f(x,y) representan las RAZONES DE CAMBIO de la variable z, cuando "x" varía manteniendo fija "y" en el otro caso la razón de cambio z cuando "y" varía manteniendo fija "x"

*Se puede hablar de tasas o índices de cambio.

Planos Tangentes

*Supongamos que f(x,y) tiene derivadas parciales de primer orden continuas. Entonces el plano tangente a la superficie z=f(x,y) en el punto P (a,b,f(a,b)) es el plano que pasa por P que contiene las rectas tangentes a las dos curvas.

*El vector normal a ese plano tangente será:

n = (∂z(a,b);∂z(a,b);-1)

                           ∂x      ∂y

*Por lo tanto la ecuación del plano tangente:

∂z(x-a) + ∂z(y-b) - (z-f(a,b)) = 0

                 ∂x        ∂y

Derivadas de orden superior

Si f es una función  de dos variables, entonces fx y fy son funciones de dos variables de modo que se consideran sus derivadas parciales (fx)x, (fx)y, (fy)y, (fy)x que se llamas segundas derivadas parciales.