ENERO

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Una función z=f(x,y) tiene un máximo relativo (MR) en (a,b)

• Si: f(x,y)≤ f(a,b), cuando (x,y) está cerca de (a,b). El valor (a,b) recibe el nombre de máximo relativo de f(x,y).
• Si f(x,y)≥ f(a,b), cuando (x,y) está cerca de (a,b), entonces se dice que f(x,y) tiene un mínimo relativo (mR) en (a,b).
• Un punto de silla son puntos donde la f(x,y) presenta un MR con respecto a la una variable y un mR con respecto a la otra, a la vez.

Criterio de la segunda derivada:

Hallar las derivadas parciales de f con respecto a x y a y.

Igualar a cero las derivadas parciales encontradas anteriormente y encontrar los puntos críticos.

Hallar las derivadas parciales de segundo orden Fxx; Fxy; Fyy.

Determinar cada segunda derivada en los puntos críticos.

Nota: en los siguientes videos se encuentran una explicación mucho más amplia sobre máximos y mínimos así como un ejemplo ilustrativo.

Máximos y Mínimos absolutos

Toda función diferenciable en una región acotada y encerrada alcanza un valor máximo o mínimo, ó en un punto estacionario, ó en un punto de la frontera de la región.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS CONDICIONADOS

MULTIPLICADOR DE LAGRANGE

Se denomina extremo condicionada de una función f(x,y), al valor máxim o mínimo de esta función alcanzadi con la condición (restricción) de que las variables independientes estén relacionadas con una ecuación de enlace: g(x,y)=0.

Para hallar estos extremos condicionados debemos formar una FUNCIÓN DE LAGRANGE:

F(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y)

Donde: λàMultiplicadordelagrangeparámetroconstanteindeterminado

Después se procede a derivar parcialmente la función de Lgrange con respecto a "x", "y" y "ƛ".

Nota: en el siguiente video se encuentran ejercicios resueltos sobre la derivada de Lagrange.

INTEGRALES MÚLTIPLES

Sobre regiones recangulares

Generalmente la Integral doble representa el volumen bajo la superficie y sobre la región R ubicada en el plano XOY, en la gráfica.

Existe una diferencial por cada variable

 

  

∬f(x,y)dxdy= ∫ba[∫dcf(x,y)dy]dx

Estas se llaman integrales iteradas y se pueden cambiar el orden pero solamente si son rectangulares

Las integrales se dan sobre regiones acotadas por un rectángulo de vértices (a,b,c,d).

Integrales dobles sobre regiones más generales:
Los diferenciales que tengan como límite una constante siempre van en la última integral a calcular, mientras se va resolviendo las integrales con límites variables.
Aquí hay un ejemplo más simple

Transformación de Integrales Múltiples:

Cuando se necesita calcular el volumen de una superficie un poco más compleja es necesario convertir las coordenadas a polares, cilíndricas o esféricas para facilitar la integral con ayuda del Jacobiano de cada una y su diferencial como se indica a continuación.

Nota: En los siguientes videos encotramos ejercicios ilustrativos sobre el uso del jacobiano en la transformación de las integrales múltiples

CENTROS DE MASA

Centro de masa es el punto donde se considera se concentra toda la masa de un cuerpo.

1. Caso Discreto

Se da cuando se tienen pocos puntos de referencia, por lo que se puede encontrar el centro de masa fácilmente: 

2. Si es un caso donde hay "n" masas:

En este caso, simplemente se generaliza la fórmula anterior, haciendo uso de la sumatoria:

3. Caso Continuo:

Cuando el número de masas tiende al infinito

1. Distribución de masa lineal

Cuando se tiene un cuerpo con una sola dimensión, se puede definir la siguiente igualdad.

2. Distribución de masa superficial

Si se tiene un cuerpo de dos dimensiones, se utiliza un diferencial de área, y se define la siguiente igualdad:

3. Distribución de masa volumétrica

Cuando se tiene un cuerpo sólido de 3 dimensiones, para lo que se usa un diferencial de volumen, y se forma la igualdad:

  

INTEGRALES DE LINEA

Son similares a las integrales simples solo que en vez de integrar en un intervalo [a,b] se integra en una curva C.

Estas Integrales resuelven problemas relacionados con el flujo de fluidos, fuerzas, electricidad y magnetismo 

Antes de comenzar a resolver es necesario parametrizar la función:

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS INTEGRALES DE LINEA

F=Pi⃗ +Qj⃗ +Rk⃗ 

∫∇f→dr⃗ =f(r→(b))−f(r→(a))

Debe ser un campo conservativo para eso cumple que:

∂P∂y=∂Q∂x

∂Q∂z=∂R∂y

∂P∂z=∂R∂